斯派基的故事

沃尔夫拉姆的尖刺标志——扁平的菱形六面体

到处都是小穗

我们称之为“斯皮基“在我今天的生活中,到处都是:

vwin中国史蒂芬·沃尔夫拉姆被斯派克斯包围

它来自一个三维物体——一个称为菱形六十面体

三维菱形六面体

但它的故事是什么,我们是如何把它作为我们的象征的呢?

小穗的起源

回到1987,当我们开发第一个版本属于数学软件,我们的创新之一是能够独立生成解决方案三维图形符号化描述.在我们早期的演示中,这样我们就可以创造出柏拉图立体.但当我们接近Mathematica 1.0的发行时,我们想要一个更令人印象深刻的例子。所以我们决定把柏拉图的最后一个固体二十面体-然后用一定量的星点(或)更正确地说,累积)(是的,原来是这样的笔记本界面看起来,30年前……)

斯派克出生在一本数学笔记本里,作为星状二十面体

起初,这只是一个很好的演示,在我们当时使用的计算机上运行得足够快。但很快,它生成的3D对象就开始成为事实上的Mathematica标志。到1988年Mathematica1.0发布时,星状二十面体无处不在:

Mathematica 1及其尖峰标志框,磁盘和原始Macintosh启动屏幕

及时,对我们的特殊恒星的颂扬开始出现在各种材料和尺寸中:

Wolfram最初的尖刺是由其他人在纸上建造的,木材与金属

但在我们发布Mathematica1.0一年后,我们正准备释放Mathematica 1.2,为了传达它更为复杂的一面,我们想要一个更复杂的标志。我们的一个开发人员,伊格尔·里文,在双曲空间完成了多面体博士学位,并通过他的努力双曲二十面体装饰我们的1.2版材料:

Mathematica 1.2及其尖峰,双曲二十面体

我的员工给了我一件最新的尖刺T恤我30岁的生日1989,我想即使这么多年了,我还是会说:

斯蒂芬·沃尔夫拉姆30岁生日时送给他的尖尖T恤:vwin中国

在Mathematica 1.2之后,我们的营销材料有一整套双曲线柏拉图固体,但随着时间的推移版本2到了1991年,我们决定我们最喜欢的是双曲十二面体

Mathematica 2及其尖峰,双曲十二面体

仍然,我们继续探索其他“小穗虫”。灵感来源于达芬奇著名的二十面体绘画(具有令人惊讶的好视角)帕乔利的书德维那比例,我们委托2.0版海报(由斯科特·金姆显示五相交四面体使其最外层顶点形成十二面体

达芬奇的木模风格多面体艺术品和它所启发的Mathematica 2海报

今天翻阅我1991年的档案,我发现一些“解释性”代码伊兰瓦迪)-很高兴看到这一切都是在我们最新的沃尔夫拉姆语(尽管现在可以写得更优美一点):

五四面体化合物的解释码,仍在用今天的Wolfram语言运行

这些年来,当我们准备启动一个徳赢中国Mathematica的新整数版本,我们将举行非常认真的会议来“挑选我们的新尖峰”。徳赢中国有时会有数百种选择,生成的(最常见的是迈克尔·特罗特)使用各种不同的算法:

Mathematica 5的一些尖峰候选人,6和7

但是,尽管颜色调色板不断发展,尖峰通常反映出(也许是以某种微妙的方式)系统中的新特征,徳赢中国我们已经有了30年的关于双曲十二面体变化的传统:

Mathematica Spikes(按版本)

在最近的时代,虽然现在我们已经积累了数百个参数,但是探索参数空间变得更加流线型了:

一个双曲十二面体有20分的理想庆祝数学20周年2008。但当我们想要类似的东西25周年纪念2013年,我们遇到了这样一个问题:没有25个顶点的正多面体。但是(基本上使用球点〔25〕我们设法创建一个近似值-并为我们公司的每个人制作了一个3D打印输出,根据他们和我们在一起的时间大小:

我们为25周年纪念日制作的3D 25点Spiky,就像我们办公室的样子

输入wolfram alpha

2009,我们正准备发射沃尔夫拉姆阿尔法-它需要一个标志。有各种各样的概念:

Wolfram Alpha徽标的一些初步想法

我们真的想强调沃尔夫拉姆阿尔法通过计算工作(而不是只是,说,搜索)有一段时间,我们热衷于用齿轮之类的图案来表明这一点。但我们也希望这个标志能让人想起我们长期以来的Mathematica标志。因此,这导致了一个经典的“CEO必须疯狂”项目:用尖峰的形式制作齿轮机构。

长期使用Mathematica和Wolfram语言的用户(和匈牙利机械工程师)ndor Kabai帮助,暗示“螺旋齿轮“:

然后,回到2版相交四面体,他想出了办法。

相交四面体的穗状,由S_ndor Kabai设计

2009,3D打印变得非常流行,我们认为Wolfram Alpha拥有一个易于3D打印的徽标是件好事。双曲线多面体出现了:它们的尖峰会折断,可能很危险。(类似于Mathematica版本4 Spikey,带“安全钉”,缺乏优雅。)

有一段时间我们一直在关注齿轮的想法。但最终我们决定值得再看一看普通的多面体。但是如果我们要采用多面体,应该是哪一个?

当然,可能有无限多个多面体。但要做一个漂亮的标志,我们想要一个对称的,有规律的。五柏拉图立体-所有面都是相同的正多边形实际上是所有多面体中最规则的:

五个柏拉图固体

然后是13阿基米德多面体,所有顶点都相同,其面是正多边形,但不止一种:

13阿基米德固体

我们可以想出各种类型的“规则”多面体。一个例子是“均匀多面体”,作为在海报中描绘对于数学杂志1993:

均匀多面体

多年来,魏尔斯史甸在组装1999年变成的数学世界,他努力把文章写得尽可能多著名多面体尽可能。2006,作为将各种系统数据放入Mathematica和Wolfram语言的一部分,我们开始包括来自MathWorld的多面体数据。结果是当版本62007年发布,它包括功能多面体数据其中包含了187个著名多面体的大量数据:

多面体数据,从Wolfram语言参考页

在数学和Wolfram语言中,始终可以生成规则多面体,但现在变得容易了。随着版本6.0的发布,我们还启动了沃尔夫拉姆示范项目,很快就开始积累各种各样的多面体相关演示.

一个是我当时10岁的女儿凯瑟琳创作的几何相关方向“是”多面体考拉“-所有多面体都有下拉功能多面体数据[]

所以这就是2009年初我们想为沃尔夫拉姆阿尔法“选择多面体”的背景。星期五晚上,一切都达到了高潮,2月6日,当我决定自己去看看的时候。

我还有我用过的笔记本,它表明,起初我尝试了一个相当可疑的想法,把球体放在多面体的顶点上:

多面体顶点上的球体,Wolfram Alpha徽标的最初不太可能的想法

但是(作为)笔记本历史系统记录)不到两分钟后,我生成了纯多面体图像,所有图像都是橙色的,我们以为将用于标识:

原始Wolfram Alpha徽标探索笔记本的笔记本修改历史概述窗口

搜索Wolfram Alpha徽标时生成的纯多面体图像

多面体按名称的字母顺序排列,在第28行,在那里是菱形六面体:

成为Wolfram Alpha标志的菱形六面体的第一个视图

几分钟后,我回到菱形六面体上,2月7日上午12:24:24,2009,我把它旋转成我们现在使用的对称方向:

沃尔夫拉姆阿尔法菱形六面体,当第一次旋转到大致当前方向时

我想知道它在灰度或轮廓上会是什么样子,四分钟后我用颜色分离的找出:

使用Wolfram语言的颜色分离现在的Wolfram阿尔法菱形六面体

我立即开始写一封电子邮件,在上午12:32发信:
“我……更喜欢菱形容器……
这是一个有趣的形状…非常对称…我想它可能
徳赢彩票游戏关于正确的复杂性……它的轮廓非常合理。”

第一封确认Wolfram Alpha徽标菱形六角体的电子邮件

很明显,我只是从笔记本的标签上复制了“菱形”这个词(我怀疑我是否能正确拼写“六角形”)。确实是从我的档案馆我知道这是我第一次写下注定要成为我最喜欢的多面体的名字。

在Wolfram语言中,很容易得到一张菱形六面体的图片来玩:

多面体数据〔多面体数据〕
γ

多面体数据

到了星期一,很明显菱形六面体是一个胜利者,我们的艺术部门开始把它描绘成Wolfram Alpha标志。徳赢彩票游戏我们尝试了一些不同的方向,但很快我就决定选一个对称的“正面”的。(我们还必须找出最佳的“焦距”,尽可能缩短投影。)

Wolfram Alpha Spikey的不同旋转和焦距

就像我们的1.0版星状二十面体一样,菱形六面体有60个面。但不知何故,花形五折“花瓣”排列,感觉更加优雅。在二维渲染中,要找到最佳的面着色效果来反映三维形式,需要付出相当大的努力。但很快我们就有了我们标志的第一个官方版本:

Wolfram Alpha标志的第一个官方版本

它很快就出现在任何地方,为了迎合我们之前的想法,它经常出现在“齿轮背景”上:

最初的沃尔夫拉姆阿尔法斯派基齿轮背景

几年后,我们稍微调整了面着色,给出今天仍然存在的Wolfram Alpha的标志:

当前Wolfram Alpha徽标

菱形六面体

什么是菱形六十面体?它被称为“六面体”,因为它有60个面,_ξηκοντα(hexeconta)是希腊语中表示60的词。(是的,正确的拼写是“e”,不是“a”。)它被称为“菱形”,因为它的每个面都是菱形.事实上,它的脸是金菱形,因为它们的对角线在黄金比例 phi=(1+sqrt[5])/21.618

金菱形,有短对角线1和长对角线phi

菱形六面体是二十面体和十二面体之间的一个奇怪的插值(用二十面体在中间)。菱形六面体的12个最里面的点形成一个规则的二十面体,最外面的20个点形成一个规则的十二面体。30个“中间点”形成了一个象似二面体,它有32个面(20个类似二十面体的三角形面,以及12“十二面体状”五角面:

菱形六面体的内点形成二十面体,中间的点形成了一个二十面体。外点形成十二面体

总而言之,菱形六面体有62个顶点和120个边(以及120−62+2=60个面)。有3种顶点(“内部”,“中间”和“外部”),对应于二十面体的12+30+20个顶点,十二面体和十二面体。这些类型的顶点分别有3个,4和5边在它们处相交。菱形六面体的每个金菱形面都有一个“内”顶点,其中5条边相交,一个“外部”顶点,其中3条边相交,两个“中间”顶点,其中4条边相交。内外顶点是金菱形的锐角顶点;中间的是钝角顶点。

金菱形的锐角顶点呈2棕褐色。1γ1)63.43°,钝的2棕褐色1γ(116.57°)。这些角允许菱形六面体从佐米托尔仅使用红色支柱(与十二面体相同):

菱形六面体的僵尸结构

穿过菱形六面体的120个边缘,60“向内铰链”具有二面角4/5=144°,60个“朝外”的有2/5=72°的二面角。这个立体角被内部和外部顶点所包围的是/5和3/5。

要画一个菱形六面体,一个人需要知道其顶点的三维坐标.得到这些的一个方便的方法是使用这样一个事实:菱形六面体在二十面体群,这样一个人可以从一个金菱形开始,只需应用60个矩阵形成二十面体群的三维表示。这给出了最终顶点坐标±γ,±1,0},{±1,±γ±(1)γ}{±2γ,0,0},{±γ±(1±2)γ,0 },{±(1)γ±(1)γ±(1)γ}它们的循环排列,每一个可能的迹象都被采取。

除了有金菱形的脸,菱形六面体可由20个构成。金菱形(6张脸都是金菱形):

一个金菱形体,其中20个形成菱形六面体

用其他多面体建立菱形六面体还有其他方法。五个相交立方体能做到这一点,如182个具有接触面的十二面体:

菱形六面体,由五个相交的立方体(左)和182个接触十二面体(右)的面制成。

菱形六面体不镶嵌空间。但它们确实以一种令人满意的方式相互联系(而且,对,我见过几十张纸叠成这样):

联锁菱形六面体

还有各种各样的环和其他配置,可以用它们来制作:

菱形六面体的两种可能的环构型

与菱形六面体(“rh”)密切相关的是菱形三面体(“RT”)。相对湿度和相对湿度都有金菱形的面孔。但相对湿度有60,而RT有30个。以下是单个RT的外观:

菱形三面体

RTS非常适合安装在右侧的“口袋”中,导致这样的形式:

菱形三面体

上述S_ndor Kabai在2002年左右对Rh和Rt产生了热情。徳赢彩票游戏之后沃尔夫拉姆示范项目开始了,他和斯洛文尼亚数学家伊齐多尔哈夫纳最后贡献了一百多关于相对湿度的演示,徳赢彩票游戏RT及其许多性质

许多演示中有菱形六面体和菱形三面体。

纸钉套件

一旦我们在菱形六面体Spiky上定居下来,我们开始对它进行3D打印。(现在很容易做到这一点打印输出[多面体数据[…],还有预计算模型可在外部服务

在我们沃尔夫拉姆阿尔法发射事件2009年5月,我们有很多3D Spikey可供选择:

斯派克在沃尔夫拉姆阿尔法发射

但是,当我们为沃尔夫拉姆之后的第一个阿尔法假日季节做准备时,我们想给每个人一个方法,让他们自己的三维尖峰。起初,我们探索使用20套塑料覆盖金菱形磁铁。但是它们很贵,而且有一个习惯,就是在“尖刺的鳞片”上不能很好地粘在一起。

所以我们想到用纸做一个钉子,或者薄纸板。我们的第一个想法是创建一个网络可以折叠成尖刺状:

菱形六面体的第一网

我女儿凯瑟琳是我们的测试文件夹(仍然有创建的对象)。但很明显,在折叠过程中有很多尴尬的情况很难从这里到达那里。有大量的可能的网络(已经有43380个甚至十二面体二十面体)-我们认为也许可以找到一个更好的方法:

另外两个菱形六面体网

但在找不到这样的网之后,然后我们有了一个新的想法(如徳赢中国果很明显的话):因为最终的结构无论如何都会被标签连接在一起,为什么不把它做成多块呢?我们很快意识到这些作品可能是12个相同的副本:

其中十二块可以形成菱形六面体,我们的小钥匙

有了这个,我们就能创造出纸雕塑套装“:

Wolfram纸雕塑套装及其配套纸钉

使指令易于理解是一个有趣的挑战,但是经过几次迭代,它们现在已经调试好了,任何人都可以轻松跟随:

Wolfram纸雕工具包说明书的演变

在纸针的循环中,我们的用户开始向我们发送各种各样的Spikeys“定位”图片:

一些人用他们的Wolfram纸雕塑工具包制作的Spikes照片

菱形六面体的路径

古埃及的多面体死亡还不清楚是谁首先识别了柏拉图固体。也许是毕达哥拉斯学派(尤其是生活在多面体附近黄铁矿晶体)也许是他们很久以前的某个人。或者它可能是同时代的柏拉图的名字特埃特图斯.但无论如何,到柏拉图时代(≈公元前400年)我们知道有五个柏拉图固体。当欧几里得写下他的元素(大约公元前300年)也许它的顶峰证明了这五个都是可能的。(这一证据尤其是采取最多的步骤-三十二-从最初的公理元素

柏拉图式的固体被用来做骰子和装饰品。但他们在思考自然时也被赋予了核心作用,徳赢彩票游戏以柏拉图为例,他认为也许在某种意义上一切都可以由它们构成:立方体的地球,八面体的空气,二十面体水,四面体之火,以及十二面体的天堂(“以太”)。

但是其他多面体呢?徳赢彩票游戏公元4世纪,帕普斯几个世纪前,阿基米德发现了13个其他的“正多面体”——大概是现在所说的阿基米德多面体-尽管细节不见了。一千年来,多面体似乎已经完成了一点。但在14世纪,随着文艺复兴的兴起,多面体突然又流行起来。人们喜欢达芬奇阿尔布雷克特·D·雷尔 经常使用它们在艺术和设计方面,重新发现一些阿基米德固体以及发现一些全新的多面体,徳赢中国像二十面体.

但是多面体的最大进步是克卜勒在16世纪初。一切都从优雅开始,如果完全错误,理论。神学上认为宇宙必须以数学上的完美来构建,开普勒建议当时已知的六颗行星可能会在几何上排列的嵌套球体上移动,以便正好与它们之间的五个柏拉图固体相匹配:

开普勒绘制了他的行星运动概念图,嵌套球体和柏拉图固体,为了他的书

在他1619年的书中宇宙的和谐“世界的和谐”开普勒认为音乐的许多特点,行星和灵魂按照相似的几何比例和原理运行。为他的论点提供原材料,开普勒研究了多边形和多面体,特别有兴趣找到以某种方式形成完整集合的物体,就像柏拉图的固体。

他研究了可能的“社交多边形”,一起可以破坏飞机的发现,例如,他的“怪物瓷砖“(五边形,五芒星和十芒星)。他学习“星体多面体发现了各种各样的柏拉图固体恒星(实际上开普勒-波因斯特多面体)1611年,他出版了小书徳赢彩票游戏关于雪花的六边形结构,作为新年礼物写给他的赞助人徳赢中国。在这本书中他讨论了球体的三维填充(和球形原子)这就是现在所说的开普勒包装(通常在杂货店的水果包装中看到)是最密集的包装(事实并非如此正式证明直到2000年代,在Mathematica的帮助下)。

开普勒的各种包装中潜伏着多面体。从任何球体开始,然后看看它的邻居,把它们的中心连接起来,形成多面体的顶点。开普勒最密集的包装,有12个球体接触到任何给定的球体,一个人得到的多面体是立方面体,有12个顶点和14个面。但开普勒也讨论了另一种包装,8%密度较低,其中8个球体接触到一个给定的球体,而6家公司就要这样做了。把这些球体的中心连接起来就得到了一个多面体,叫做菱形十二面体,有14个顶点和12个面:

隐藏在开普勒包装中的菱形十二面体

发现了这个,开普勒开始寻找其他的“菱形多面体”。他发现的菱形十二面体有由一对等边三角形组成的菱形。但到了1619年,开普勒还发现了金菱形,并发现了菱形三面体。在他的照片里,在菱形十二面体旁边:

菱形三面体和其他多面体,开普勒为他的书画的

开普勒实际上立即申请了这些菱形多面体:他想使用它们,和立方体一起,制作一个嵌套的球体模型,以适应伽利略在1610年发现的木星的四个卫星.

开普勒为什么没有发现菱形六面体?我觉得他很亲近。他看着非凸的“星”多面体。他看着菱形多面体。但我猜他的天文学理论他对菱形三面体很满意,再也看不到了。

最后,当然,它是开普勒定律-这与开普勒对天文学的主要贡献多面体无关。但是开普勒在多面体上的研究,尽管是为一个被误导的物理理论服务的,仍然是对数学的永恒贡献。

在接下来的三个世纪里,更多多面体,以各种形式的规律性,逐渐被发现,到20世纪初许多数学家都知道

麦克斯·布赖克纳1900年著作中的极面体

但是,据我所知,菱形六面体不在其中。相反,它的发现必须等待某个赫尔穆特·昂克尔巴赫.出生于1910,他于1937年在慕尼黑大学获得数学博士学位(在最初学习物理之后)。他写了几篇关于保角映射的论文,徳赢彩票游戏也许是通过研究多面体域的映射,在1940年出版了(德语)关于“边对称多面徳赢彩票游戏体”。

他的目标,他解释说:是要详尽地研究所有可能满足特定的多面体,虽然新的,徳赢中国规则性的定义:它们的边都是相同的长度,这些边都位于多面体的对称平面上。他的论文的主要结果是一个包含20个不同多面体的表,具有以下特性:

unkelbach的多面体表点击放大

大多数多面体unkelbach知道已经知道了。徳赢中国但是Unkelbach挑出了三种他认为是新的类型:两个六面体(或徳赢中国十二面体)两个六面体(或三面体发育不全)他称之为朗姆本西科塔德,或者用英语,菱形六面体。他很清楚地认为菱形六面体是他的奖品样本,包括他制作的模型的照片:

Unkelbach的菱形六面体模型,

他是如何“推导”菱形六面体的?基本上,他从十二面体开始,并确定了它的两种对称面:

十二面体中的两种对称面

然后他细分了十二面体的每一面:

十二面体面的细分

然后他基本上考虑将每个面的中心向内或向外推到一个指定的倍数。α通常与十二面体中心的距离:

十二面体,其表面被不同的特定倍数推入或推出,以0.5的倍数,结果精确的菱形六面体

为了α< 1,生成的面不相交。但对于大多数价值观α,它们没有等长的边。这只发生在特定的情况下-在这种情况下,得到的多面体就是菱形六面体。

实际上,Unkelbach把他的1940年的论文看作是对更一般性研究的一种热身。”K-对称多面体“,对称性要求较宽松。但在第二次世界大战开始后,一本数学杂志在德国出版,这已经足够引人注目了。报纸出版后不久,Unkelbach被卷入了战争,在接下来的几年里为德国海军设计声自导鱼雷。

Unkelbach再也没有在多面体上发表过,1968年去世。战后,他又回到了保角映射的领域,但也开始发表关于数学投票理论是建立一个运转良好的民主的关键的观点,数学家有责任确保它被使用。

尽管菱形六面体出现在Unkelbach的1940年的论文中,它很可能永远在那里消逝,不是因为1946年H.S.M(唐纳德)考克斯特为(相当新的)美国人写了一篇论文的简短评论徳赢中国数学评论.他的评论列出了论文中提到的多面体,就像一个博物学家可能在探险中发现的新物种一样。徳赢中国最高点是他所说的“一个非凡的菱形六面体”,他报告说“它的表面与三面体的形状相同,其中是实际上是一颗恒星“。

多面体并不是20世纪中期数学中的热门话题,但科克塞特是他们的主要支持者,并以某种方式与几乎所有从事这方面工作的人联系在一起。1948年,他出版了他的书。规则多面体.它系统地描述了各种正多面体族,特别是显示巨大的星状三面体(或大菱形三面体)-它有效地包含一个菱形六面体:

大星状三面体(或大菱形三面体)

但科克斯特在书中没有明确提到菱形六面体,虽然它从多面体爱好者那里得到了一些提及,菱形六面体仍然是一个基本上不明显(有时拼错)的多面体。

准晶体

晶体一直是多面体的重要例子。但是到了19世纪,随着原子理论的日益确立,开始对晶体学,以及原子在晶体中的排列方式。多面体经常出现,特别是代表晶体中原子重复块的几何结构(“单位单元”)。

到1850年,人们知道基本上只有14种可能的几何结构;其中一个是基于菱形十二面体的。这些几何图形的一个显著特征是它们都有特定的两个-三,四六倍对称性,本质上是由于某些多面体可以镶嵌空间,与二维一样,唯一能平铺平面的正多边形是正方形,三角形和六边形。

但是对于非晶材料呢徳赢彩票游戏?像液体还是玻璃?自20世纪30年代以前,人们就开始怀疑,在那里是否至少存在大约五倍的对称性。不能用规则的二十面体(具有五重对称性)来镶嵌空间,但也许你至少可以有二十面体区域之间的间隙很小。

当20世纪80年代早期在快速冷却的铝锰材料有效地显示出五重对称性。有已有的理论徳赢彩票游戏关于如何实现这一目标,几年之内,还出现了形状像菱形三面体的颗粒的电子显微镜照片:

显示菱形三面体结构的准晶准晶体显示菱形三面体结构

当人们想象这些三面体如何组合在一起时,菱形六面体很快出现了-作为12个菱形三面体群中的“孔”:

菱形六面体

起初,它被称为“20支恒星”。但很快与多面体文献建立了联系,它被鉴定为菱形六面体。

与此同时,用菱形元素制作东西的整个想法正引起人们的注意。迈克尔·朗格特·希金斯,长期海洋学家和风浪专家,跳上风车,1987档案专利对于一个基于磁性菱形块的玩具,这可能产生“开普勒星”(菱形六面体)或“开普勒球”(菱形三面体):

朗格特·希金斯为一种磁性菱形块玩具申请了专利。

虽然我只是发现了这个,但是我们在2009年考虑的广泛的“造穗”菱形块实际上是由右旋数学玩具(阿卡菱形网)在圣迭戈的朗格特·希金斯的家里工作。

关于什么能成功地细分空间甚至是平铺平面的整个问题-是个复杂的问题.事实上,一组特定形状是否可以排列成平铺平面的一般问题已经知道从20世纪60年代初开始就正式无法决定。(有人可能会验证这些形状中的1000个可以组合在一起,但是,要想找出更多形状的答案,可能需要更多的计算工作。)

像开普勒这样的人可能会假设一组形状将要平铺在飞机上,他们必须能够以一种纯粹重复的模式做到这一点。但随着人们认识到一般的瓷砖问题是无法解决的,罗杰·彭罗斯1974年发明了两种能够成功地平铺飞机的形状,但不是重复的。1976年彭罗斯(以及罗伯特阿曼)提出了一个稍微简单一点的版本

彭罗斯和安曼简单的菱形瓷砖

而且,对,这里的形状是菱形的,虽然不是金菱形。但角度为36度、144度和72度、108度,它们排列成5倍和10倍对称。

通过施工,这些菱形(或,更严格地说,由它们制成的形状)不能形成重复的模式.但事实证明,它们可以形成一个系统化的模式,嵌套方式:

菱形形成一个系统,嵌套模式

而且,对,在这个序列的步骤3的中间看起来很像我们的扁平的小穗。但这并不完全正确;外菱形的纵横比关闭。

但实际上,仍然有密切的联系。不是在飞机上操作,想象从菱形三面体的一半开始,由金色菱形制成,3D:

半菱形三面体

从上面看,它看起来就像是彭罗斯瓷砖嵌套结构的开始。如果有人继续前进,一个得到了彭罗斯瓷砖:

Penrose瓷砖的3D版本-一个Wieringa屋顶,从半个菱形三面体开始(顶视图)

从侧面看3D,可以看出它仍然是相同的金菱形:

Penrose瓷砖的3D版本-一个Wieringa屋顶,从半个菱形三面体开始(侧视图)

把这些“wieringa屋顶”中的四个放在一起,就可以形成菱形六面体:

其中四个wieringa屋顶正好形成菱形六面体。

但是这些嵌套结构和物理准晶形成的实际方式有什么关系呢?还不清楚。但即使在自然界中也能看到菱形六面体的迹象,这仍然是件好事。

历史上,正是通过他们在准晶体中的讨论,S_ndor Kabai开始用Mathematica研究菱形六面体,反过来又让埃里克·韦斯斯坦发现了他们,徳赢彩票游戏这反过来又导致他们在数学和沃尔夫拉姆语言中,这反过来又让我为我们的商标选了一个。鉴于此,我们把嵌套的彭罗斯瓷砖印在我们的内部纸钉

在Wolfram纸雕塑工具包的每一件作品背面嵌套构造的Penrose瓷砖

压扁小穗

我们的沃尔夫拉姆阿尔法史派基在2009年随着沃尔夫拉姆阿尔法的发布突然出现在现场。但我们仍然有我们的长期和逐步发展的数学尖峰。因此,当我们在2011年建立一个新的欧徳赢中国洲总部时,我们不仅拥有一个,但有两个斯派克人在争抢。

我们的长期艺术总监杰里米·戴维斯想出了一个解决办法:拿一个尖峰,但是“理想化”它,只使用它的“骨架”。决定从菱形六面体开始并不困难。但是我们把它压平了(用最好的比率,当然了)-最后是我们现在熟悉的徽标的第一个实现:

在Wolfram Research Europe有限公司上被压扁的小穗。总部

巴西惊喜

当我开始写这篇文章时,我以为故事基本上会在这里结束。毕竟,我现在已经描述了我们如何选择菱形六面体,以及数学家最初是如何提出这个问题的。但在完成之前,我想,“我最好把这些年来收到的关于斯派克的所有信件都看一遍,徳赢彩票游戏只是为了确保我没有遗漏任何东西。”

就在那时,我注意到2009年6月的一封电子邮件,来自巴西一位名叫约兰达·西普里亚诺.她说她见过文章徳赢彩票游戏关于沃尔夫拉姆阿尔法在巴西的一家新闻杂志上,注意到了斯派克,想指出我徳赢中国她的网站.九年多过去了,但我还是跟着链接走了,很惊讶地发现:

Yolanda Cipriano的菱形六面体网站,那里叫

我读了更多她的电子邮件:“在巴西,这个物体被称为‘giramundo’或‘flor mandacar_’(mandacaru flower),它是用[薄纸]制成的艺术装饰品。”

什么?!巴西有一个尖锐的传统,这么多年来我们都没听说过?徳赢彩票游戏我很快在网上找到了其他图片。只有几个钉子是用纸做的;大多数是织物,但有很多:

许多织物菱形六面体

我给一个巴西朋友发了邮件,他曾致力于Wolfram Alpha的最初开发。他很快回答说:“这些确实是我们熟悉的物品……令我感到遗憾的是,我从来没有足够的好奇心来连接这些点。”然后,他给我寄来了当地工艺美术品目录上的照片:

巴西工艺美术品目录中的布钉

但现在狩猎开始了:这些东西是什么?他们是从哪里来的?我们公司的一位志愿者说,实际上她在智利的曾祖母是用钩针编织的,而且总是带着尾巴。我们开始联系那些在网上贴了“民谣”照片的人。他们通常只知道从一家旧货店买的。徳赢中国但有时人们会说他们知道如何制造它们。徳赢中国故事似乎总是一样的:他们从他们的祖母那里学会了怎么做。

至少在现代,建造一个民间小穗的典型方法似乎是从切下60个纸板菱形开始。下一步是用织物把每个菱形包起来,最后把它们缝在一起:

建造一座民居

好啊,但这里有一个直接的数学问题。这些人真的测量出了63度的金菱形吗?答案通常是否定的。相反,他们用一对等边三角形做成了60°菱形,就像被子里用的标准菱形一样。那么,小穗是如何组合在一起的呢?好,60°离63°不远,如果你把脸缝在一起,有足够的回旋空间,即使没有精确的角度,也很容易使多面体接近。(也有“准尖峰”,在Unkelbach的建筑中,没有菱形的面,但是相反,有更尖的“外部三角形”。)

网上的民谣以各种方式贴上标签。最常见的是“giramundos”。但它们经常被称为“幸福之星”。令人困惑地,其中一些也被标记为“摩拉维亚恒星”——但实际上,摩拉维亚恒星是不同的更尖的多面体菱形立方八面体)这是最近才流行起来的,尤其是对于灯具.

尽管做了很多调查,我仍然不知道“民间小穗”的完整历史是什么。但这是我迄今为止发现的。第一,至少在斯派克的民间传统中幸存下来的是以巴西为中心的(尽管我们有一些关于其他外貌的故事)。第二,传统似乎相当古老,绝对可以追溯到1900年以前,也可能是几个世纪以前。据我所知,与民间艺术一样,这是一种纯粹的口头传统,到目前为止,我还没有找到任何关于它的真实历史文献。徳赢彩票游戏

我最好的信息来自保拉格拉,她十年前在一个历史悠久的小镇经营一家以旅游为导向的咖啡馆,卖民谣。S_o Lu_z do Paratinga.她说人们会从巴西各地来到她的咖啡馆,看到斯派克人说,“我50年没见过这样的人了……”

保拉自己从一个住在多代当地家庭农场的老妇人那徳赢彩票游戏里了解到了斯派克人(她称他们为“明星”),从她还是个小女孩起就一直在制作它们,她妈妈教她怎么做。她的程序似乎是典型的,从任何地方(最初,像帽盒之类的东西,然后用织物碎片覆盖它,通常是从衣服上,然后把整个6英寸的物体缝在一起。

斯派克人多大了?好,我们只有口头的传统。但我们已经追查了几个人,他们看到了1900年左右出生的亲戚制作的民间小穗。保拉说,十年前,她遇到了一位80岁的老妇人,她告诉她,当她在一个有200年历史的咖啡农场长大时,那里有一架子四代女人的民间小穗。

至少有一部分民间尖刻的故事似乎围绕着母女传统。母亲们,据说,当他们的女儿去结婚时,他们常常把民间的斯派克作为结婚礼物。典型的主食是由衣服碎片和其他能让女儿想起童年的东西制成的,有点像是现代孩子上大学时被子的制作方法。

但对于民间的小穗来说,显然还有另一个转折点:在小穗被缝合之前,这是很常见的,妈妈会把钱放进去,供她女儿在紧急情况下使用。然后,女儿会把针线活放在针线活里,她丈夫不太可能接电话的地方。(一些小穗似乎被用作针状物,可能为它们被拾起提供了额外的抑制因素。)

什么样的家庭有民间尖峰传统?从1750年开始,巴西农村有许多咖啡和糖种植园,远离城镇。直到1900年,这些种植园的农民通常从遥远的城镇得到13岁的新娘。也许这些新娘来自葡萄牙富裕家庭,而且往往是受教育比较好的来与民间小穗。

随着时间的推移,这一传统似乎传到了贫困家庭,主要保存在那里。但是大约在20世纪50年代,随着道路和城市化的到来,以及远离偏远农场的生活,传统似乎已经完全消失了。(然而,在巴西南部的农村学校,20世纪50年代的女孩们显然是在美术课上被教导如何制作带有开口的民间小穗,以便用作储钱罐。)

在巴西各地,民间小穗似乎出现了不同的故事。在南部边境地区(阿根廷和乌拉圭附近),显然有一个传统,那就是“圣保罗之星”。“米盖尔”(又名民间斯派克)是在乡村由疗愈妇女(又名“女巫”)制作的,他们应该在缝指甲的时候考虑被治疗者的健康。徳赢彩票游戏

在巴西的其他地区,民间的小穗有时似乎是指花和水果的名字,看起来有点相似。在东北部,“Flor mandacar_”(花后在仙人掌)在热带湿地,“杨桃”(之后星果)在中部森林地区,“Pinda_va”(在尖果

一些民间小穗植物以当地名字命名的植物群:曼陀罗仙人掌上的花,星果和松花果

但现在最常见的一个民间小穗的名字似乎是“giramundo”——一个显然不是很新葡萄牙人构建的词,实质上是“旋转的世界”。斯派克人,似乎,被当作一种魅力,它在风中旋转,本该带来好运的。添加尾部似乎是最近的,但很明显,在房子里挂起民谣是很常见的,尤其是在节日的时候。

通常不清楚什么是原创的,最近的一个传统是“夹带”民谣。在三个国王节游行(如圣经中的三个国王)中帕拉伊廷加圣路易斯,民间斯派克显然是用来表示伯利恒之星的,但这似乎只是最近发生的事情,绝对不代表某种古老的宗教联系。

我们发现了一些民间派克在艺术展览中出现的例子。一个在A1963展览徳赢彩票游戏关于建筑师组织的巴西东北部民间艺术丽娜·柏巴蒂.其他的,这是我见过的最大的3D Spiky,是在1997展览建筑师和布景设计师的作品佛罗里达州IMP里约

一个巨大的3D Spikey在一个fl_vio imp_rio展览上

那么……斯派克人是从哪里来的?我还是不知道。它可能起源于巴西;它可能来自葡萄牙或欧洲其他地方。织物和缝纫的中心使用需要使一个“60°尖刺”的工作可能反对美洲或非洲起源。

一位现代的尖尖工匠说,她的曾祖母,谁制造的民间尖尖,并在19世纪晚期出生,来自罗马尼亚地区意大利。(她还说她从法裔加拿大人的祖母那里了解到了民谣徳赢彩票游戏。)我想可以想象,有一次欧洲各地都有民谣,但他们在几代人前就已经灭绝了,因此没有口述的传统流传下来。徳赢彩票游戏仍然,当大量多面体出现时,例如,在早期的欧洲绘画中,我不知道他们中间有一个小穗。(我也不知道历史伊斯兰艺术

但最终我很确定在某个地方有一个单一的起源的民间斯派克。这不是我怀疑不止一次被发明出来的东西。

我不得不说我以前去过“艺术起源的狩猎”。其中一个更成功的是寻找第一个嵌套(sierpi_ski)模式-哪个最终把我带到了意大利一个教堂的地窖,在那里我可以看到模式被逐步发现,在1200年后签署的石头马赛克。

到目前为止,这种刺状物已被证明更难被发现,而且它似乎已经被发现的主要媒介与织物有关,这当然没有帮助。这和斯通的做法不一样。

斯派克斯复活了

不管它的最终起源是什么,斯派克为我们提供了一个强大和尊严的标志。但是有时候,让斯派克“复活”是很有趣的——多年来,我们为了各种目的制造了各种“人格化的斯派克”。

斯派克斯复活了

当你使用沃尔夫拉姆阿尔法,它通常会显示出它的正常,几何尖峰。但有时,您的查询会使尖峰的“复活”——就像它对pi查询所做的那样圓周率日

永远的钥匙

多面体是永恒的。你在500年前的照片中看到一个多面体,它看起来就像今天我电脑里的多面体一样干净和现代。

我一生中有相当一部分时间都在寻找抽象,计算事物(思考细胞自动机模式)他们也有永恒。但是尽我所能去尝试——我没有为他们找到多少历史线索。作为抽象对象它们可以随时创建.但事实上它们是现代的,创建原因是概念框架我们现在有,并与工具我们今天见过,以前从未见过。

多面体既有永恒性,又有数千年的悠久历史。在他们的外表上,多面体让我们想起了宝石。找到某种规则多面体,有点像在几何宇宙中找到一块宝石,所有可能的形状。

菱形六面体是一种奇妙的宝石,当我探索它的特性时,我对它更加感激。但它也是一块有着人类故事的宝石-vwin中国斯蒂芬·沃尔夫拉姆和斯派基看到像多面体这样抽象的东西是如何把世界各地的人与如此不同的背景和目标联系起来的,真是太有趣了。

谁最先想到的菱形六面体?我们不知道,也许我们永远不会。但现在它在这里,这是永远的。我最喜欢的多面体。


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评论.显示全部

  1. 12版什么时候发布?

    什么时候?
  2. 这本书读得很好!

    伟大的故事,

    谢谢

    威尔
  3. 又是一个惊人的故事。感谢您的分享。

    马立克
  4. 祝你好运,在去哈尔的路上,我们需要这样的智慧来创造艺术,诗歌,比如音乐和学习彼此交谈:)

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